Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (2024)

Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung $B$ B ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ A eintritt, falls sicher ist, dass $B$ B schon eingetreten ist.

Man schreibt $P_B(A)$ PB(A) oder $P(A\mid B)$ P(A∣B) für die Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung $B$ B.

$P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\ \cap B\right)}{P\left(B\right)}\$ PB(A)=P(B)P(A∩B)(umgeformte erste Pfadregel)

$P_B\left(A\right)$ PB(A) wird gelesen als: "Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung $B$ B"

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ PB(A) ist nur sinnvoll definiert, wenn $P(B)\neq0$ P(B)=0 ist.

Beispiele und Abgrenzung von "normaler" Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass, wenn es regnet" $P_{\text{es\ regnet}}\left(\text{Straße\ nass}\right)$ Pesregnet(Straßenass) ist nahe 1 (Es gibt nur einige wenige Straßen, die überdacht sind.)Die Wahrscheinlichkeit für "Die Straße ist nass." $P\left(\text{Straße\ nass}\right)$ P(Straßenass) (normale Wahrscheinlichkeit) ist deutlich unter 1 (je nach geographischer Lage).
Die bedingte Wahrscheinlichkeit für "lange Haare bei Frauen" $P_{\text{Frau}}\left(\text{lange\ Haar}e\right)$ PFrau(langeHaare)ist deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit für "lange Haare" $P\left(\text{lange\ Haare}\right)$ P(langeHaare)
Ein Tetraeder (Zahlen 1-4) und ein Würfel (Zahlen 1-6) werden zufällig aus einer Urne gezogen und geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für "1" berechnet man mit $P\left(1\right)=0.5\cdot\frac{1}{4}+0.5\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$ P(1)=0.5⋅41+0.5⋅61=81+121=245Die bedingte Wahrscheinlichkeit "1, wenn ich weiß, dass der Tetraeder gezogen wurde" berechnet man mit $P_{\text{Tetraeder}}\left(1\right)=\frac{1}{4}$ PTetraeder(1)=41.

Ein ausführliches Beispiel

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (1)

Ein Spielwürfel hat die Augenzahlen von $1$ 1 bis $6$ 6, die bei einem Wurf alle die gleiche Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}$ 61 haben.

Wir nehmen jetzt zwei Ereignisse:

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (2)

Ereignis $A$ A: die geworfene Augenzahl ist durch drei teilbar, es ist also eine $3$ 3 oder eine $6$ 6.

Bei sechs möglichen Fällen und zwei Fällen, in denen das Ereignis eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=\frac{2}{6}$ P(A)=62 oder nach Kürzen $P(A)=\frac{1}{3}$ P(A)=31.

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (3)

Ereignis $B$ B: die geworfene Augenzahl liegt zwischen $1$ 1 und $4$ 4.

Da es sechs mögliche und vier Fälle, in denen das Ereignis eintritt, gibt, ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)=\frac{4}{6}$ P(B)=64 oder nach Kürzen $P(B)=\frac{2}{3}.$ P(B)=32.

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 1. Weg

Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung, dass auch $B$ B eintritt. Das schreibt man als $P_B(A)$ PB(A) oder als $P(A|B)$ P(A∣B).

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (4)

Weil $B$ B eintritt, ist die Grundmenge der möglichen Fälle jetzt nur noch $\{1, 2, 3, 4\}$ {1,2,3,4}.

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (5)

Das Ereignis $A$ A tritt ein bei einer $3$ 3 oder einer $6$ 6, wobei die $6$ 6 aber sicher ausgeschlossen ist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (6)

Die einzige Möglichkeit, dass das Ereignis $A$ A eintritt ist also, dass die $3$ 3 geworfen wird.

Wir haben hier vier mögliche Fälle und nur einen, in dem das Ereignis $A$ A eintritt. Das bedeutet, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung $B$ B gleich $\frac{1}{4}$ 41 ist: $P_B(A)=\frac{1}{4}$ PB(A)=41.

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: 2. Weg

Dass die Ereignisse $A$ A und $B$ B beide eintreten, schreibt man als $A \cap B$ A∩B (eben dem Durchschnitt der Ereignismengen). Genau wie gerade sieht man, dass das einzige Ereignis $A\cap B =\{3\}$ A∩B={3} ist. Die Wahrscheinlichkeit, eine $3$ 3 zu werfen, ist (wie für jede einzelne Zahl) $\frac{1}{6}$ 61.

Daraus und aus $P(B)=\frac{2}{3}$ P(B)=32 kann man jetzt $P_B(A)$ PB(A) berechnen:

Wenn $P(B)=\frac{2}{3}$ P(B)=32 ist, muss diese Zahl mit $P_B(A)$ PB(A) multipliziert werden, damit auch das Ereignis $A$ A eintritt. Dann sind aber beide Ereignisse $A$ A und $B$ B eingetreten, das heißt, man ist im Fall $A\cap B$ A∩B.

Man kann die Gleichung

nach $P_B(A)$ PB(A) auflösen und erhält

In diesem Beispiel ist $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1/6}{2/3}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.$ PB(A)=P(B)P(A∩B)=2/31/6=61⋅23=123=41.

Zusammenfassung

Wenn man zwei der drei Wahrscheinlichkeiten $P(B)$ P(B), $P(A\cap B)$ P(A∩B) und $P_B(A)$ PB(A) kennt, kann man die dritte durch Umstellen der Formel berechnen:

Aufgabe

Jetzt kannst du überprüfen, wie gut du das Beispiel verstanden hast: Berechne $P_A(B)$ PA(B) sowohl direkt als auch mit einer passenden Formel.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

$P_B(A)$ PB(A) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung $B$ B.d. h., man weiß bereits sicher, dass $B$ B zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $A$ A weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $A$ A.
$P_A(B)$ PA(B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von $B$ B unter der Bedingung $A$ A.d. h., man weiß bereits sicher, dass $A$ A zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich $B$ B weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von $B$ B.
$P(A\cap B)$ P(A∩B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ $A$ A und zugleich $B$ B“.d. h., man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der $A$ A und $B$ B gemeinsam eintreten.

Frage: Sei $A$ A ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist $P_A(A)$ PA(A) und $P_A(\overline{A})$ PA(A)?

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt $P_B(A)$ PB(A) oder $P(A\mid B)$ P(A∣B) für die Wahrscheinlichkeit von $A$ A unter der Bedingung $B$ B.

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (7)

Alternative Sprechweisen:

„ $A$ A unter der Bedingung $B$ B“
„ $A$ A, wenn $B$ B“
„Wahrscheinlichkeit von $A$ A, wenn $B$ B eingetreten ist“
„ $A$ A gegeben $B$ B“

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

Bedingte Wahrscheinlichkeit - lernen mit Serlo! (8)

In einem zweistufigen Zufallsexperiment können in der ersten Stufe die Ereignisse $A$ A und $B$ B eintreffen, in der der zweiten Stufe die Ereignisse $C$ C und $D$ D.

Am dargestellten Baum kann man erkennen, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe zu finden sind. Sie hängen (bei Abhängigkeit) von der ersten Stufe ab.

Folgende Gleichungen gelten:

$P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)$ P(A∩C)=P(A)⋅PA(C) (erste Pfadregel)

$P\left(C\right)=P\left(A\right)\cdot P_A\left(C\right)+P\left(B\right)\cdot P_B\left(C\right)$ P(C)=P(A)⋅PA(C)+P(B)⋅PB(C) (zweite Pfadregel)

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt, um $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ P(A∣B)=P(B)P(A∩B) auszurechnen. $\rightarrow$ →Beispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich ${P(A\cap B)}$ P(A∩B) zu $P(A)\cdot P(B)$ P(A)⋅P(B).In diesem Fall ergibt sich für $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ P(A∣B)=P(B)P(A∩B)=P(B)P(A)⋅P(B)=P(A).Im Umkehrschluss: Unterscheiden sich $P(A\mid B)$ P(A∣B) und $P(A)$ P(A), so folgt, dass $A$ A und $B$ B stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$ P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\;+\;P(\overline A)\cdot P(B\mid\overline A)$ P(B)=P(A)⋅P(B∣A)+P(A)⋅P(B∣A)

mit der Verallgemeinerung: $P(B)=\sum_iP(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$ P(B)=∑iP(Ai)⋅P(B∣Ai)

Satz von Bayes

$P(A\mid B)=\dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$ P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)

Weiterer Satz

$P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)=1$ P(A∣B)+P(A∣B)=1

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal $A$ A trete bei $2\;\%$ 2% aller neugeborenen Mädchen und bei $8\;\%$ 8% aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

$A$ A: „Das Kind hat das Merkmal $A$ A.“

$J$ J: „Das Kind ist ein Junge.“

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt. Dann gilt:

$P_J(A)=8\,\%$ PJ(A)=8%, denn laut Angabe tritt Merkmal $A$ A ja bei $8\;\%$ 8% aller neugeborenen Jungen auf.

$P(A\cap J)=4\,\%,$ P(A∩J)=4%, denn da nur $50\;\%$ 50% der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur $8\;\%$ 8% das Merkmal $A$ A haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal $A$ A hat, gleich $4\;\%$ 4%.

$P_A(J)=80\,\%$ PA(J)=80%, denn das Merkmal betrifft Jungen viermal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal $A$ A hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit $80\,\%$ 80%, dass das Kind ein Junge ist.